பொதுசார்புக்கோட்பாடு
-----------------------------------------------------------------------------
பொதுசார்புக்கோட்பாட்டுக்கு அடிப்படை அளவுபாடுகளாக இருப்பவை வெக்டார்கள் எனும் "திசையங்களே".இதற்கு "திசையும்" "அளவும் "(டைரக்சன் அண்ட் மேக்னிடியூடு) முக்கியமானவை.இவை தான் பொதுசார்பு அளவைக்கும் அவசியம். "டி எக்ஸ்" ஐ (மேல் அம்புக்குறியுடன்) காலவெளியின் இரு புள்ளிகளுக்கிடையே மிகச்சிறிய திசைக்கோட்டை குறிப்பதாகக் கொள்வோம்.இதை டெக்ஸ்^ என்போம்.இந்த திசையங்கள் தான் நேர் இயல் குறி கணிதம் (லீனியர் அல்ஜிப்ரா) கொண்டு அறியப்படுகின்றன.இந்த அமைப்பு திசைய வெளி (வெக்டார் ஸ்பேஸ்) எனப்படும்..
அந்த அ எனும் இடைவெளி ஒரு திசையத்தை குறிப்பதாயிருந்தால் அது அ > 0 என இருந்தால் அது மெய்மையானது என்றும் (ரியல்)நேர் திசையானது என்றும் கூறுவர். அந்த அளவிகளும் திசையங்களும் "மாறுதலின்றி"களாக (இன்வேரியண்ட்ஸ்)வே கருதப்படும்.ஆனால் திசையங்களின் "உள்மதிப்புகள்(வெக்டார்காம்பொனென்ட்ஸ்)அவ்வாறு"மாறுதலின்றிகளாக"கருதப்படமாட்டாது.இயற்பியல்விதிகளின்சூத்திரங்களிலும்இந்த "இணை அச்சுகள்" ஒரு விளைவையும் ஏற்படுத்துவது எனவே காலவெளியை எக்ஸ் என(பெரிய எழுத்து) குறிக்கும் போது இது இணை அச்சுகளை குறிப்பிடாது.எனவே வளைதன்மையுடைய கோடுகளை திசையம் எனும் நேர்கோடு கொண்டு குறிக்கமுடியாது.ஈக்குளிடியன் வெளியில் இரண்டு திசையங்கள் நேர்கோடுகளைக்கொண்டு கூட்டல் குறியில் குறிப்பிடுவது போல் வளைகோடுகளில் இயலாது.ஈக்குளிடியன் வெளியில் முப்பரிமாண பரப்பை இரு பரிமாண கோளப்பரப்பாகத்தான்(2 ஸ்ஃபேர்)அளக்கமுடியும்.
இதை நாம் "டேஞ்சன்ட் வெக்டார்" எனக்குறிப்பிட வேண்டும்.அந்த நிலநடுக்கோட்டில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் ஓடுகின்ற தொடு வெளி எனும் அந்த டேஞ்சண்ட் ஸ்பேஸ்ன் குழைவு வெளியில் (மெனிஃபோல்டு) ஒவ்வொரு புள்ளியையும் தொட்டுக்கொண்டு ஓடுகிறது என்றே பொருள்.அதாவது ஒரு கோளகம் முப்பரிமான ஈக்குளிடியன் வெளியில் பதிக்கப்படும்போது (எம்பெட்டடு) அந்த வெட்டுப்புள்ளியினூடு ஒரு தொடு பலகைப்புலம் இடுக்கிறது.(டேஞ்சென்ட் ப்ளெய்ன்) இருக்கிறது.அந்த தொடு புள்ளியில் போய் சந்திக்கிற இந்த திசையக்கோடு ஒரு 2 பரிமாண "திசைய வெளி"யாக உள்ள தன்மையில் இருக்கும்.அப்போது அது முப்பரிமாண கோளகத்தின் ஒரு புள்ளியாகவும் இருக்கும்.இது தொடு புள்ளி எனப்படும்.இப்படிப்பட்ட "பதிப்புகள்"(எம்பெட்டிங்) தேவையில்லை என்கிறார் "வாக் எனும் விஞ்ஞானி (1984ல்) .
. As long as the
space is smooth (as assumed in the formal definition of a manifold), the difference vector
d~x between to infinitesimally close points may be defined. The set of all d~x defines the
tangent space at x. By assigning a tangent vector to every spacetime point, we can
recover the usual concept of a vector field. However, without additional preparation
one cannot compare vectors at different spacetime points, because they lie in different
tangent spaces. In Section 5 we introduce parallel transport as a means of making this
comparison. Until then, we consider only tangent vectors at x. To emphasize the status
3
of a tangent vector, we will occasionally use a subscript notation: A~X.
2.2 One-forms and dual vector space
Next we introduce one-forms. A one-form is defined as a linear scalar function of a vect
__________________________________________________________________________
கருத்துகள் இல்லை:
கருத்துரையிடுக