லேக்ரேஞ்ஜியன் புலக்கோட்பாடு.
________________________________________________
இசக்கி பரமசிவன்
குவாண்டம் நகர்ச்சி இயலை மரபுவழியில் ஆய்வது தான் இந்த கோட்பாட்டின் நோக்கம்.லேக்ரேஞ்ச் மெகானிக்ஸ் அல்லது இயக்கவியல் என்பது ஒரு அமைப்புக்குள் (சிஸ்டம்) இருக்கும் வேறு வேறு துகள்களையெல்லாம் அவற்றின் விடுபட்ட தன்மைகளோடு (டிகிரீஸ் ஆஃப் ஃப்ரீடம்)அவற்றின் குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கைகளையும் கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு ஆராய்வது ஆகும்.
ஆனால் அவற்றின் புலம் என்பது அவற்றிடையே உள்ள தொடர்வியத்தை (கன்டினுவிடி) யும் அதன் எல்லையற்ற (இன்ஃபினிட்) விடுபெறு அளவையங்களின் எண்ணிக்கையையும்(நம்பர் ஆஃப் டிக்ரீஸ் ஆஃப் ஃப்ரீடம்)ஆய்வுக்குள் கொண்டுவருவது ஆகும்.குவாண்டம் எனும் அளபடை இயக்கவியலுக்கு நம் கணித சமன்பாடுகள் நழுவலான தீர்வுகளைத்தான் காட்டுகின்றன.எனவே மரபு வழி லேக்ரேஞ்ச் புலக்கோட்பாட்டைக் கொண்டு தீர்வுக்குள் அடைபடவைக்கமுடியுமா என்பதே நம் குறி.
குவாண்டம் என்பது ஒரு நுண்மை நிகழ்வு.துகள் ஆற்றல் இரண்டும் எங்கே எவ்வாறு கலவைபெற்று இருக்கிறது என்பது ஒரு கண்ணுக்குத்தெரியாத புலத்தில் இருக்கிறது.எனவே அடிப்படையில் பார்த்தால் இது சூதாட்டம் போன்றது.ஆற்றலும் துகளிடமும் கண்ணாமூச்சி ஆடுவது போல் போக்கு காட்டுகின்றன.இந்த நிகழ்தகைமை (ப்ராபபலிடி)தான் இங்கே குவாண்டம் ஆகிறது.
இப்படி காற்றுவெளியில் வேட்டையாடுவது போல் மண்டையை உடைத்துக்கொள்வதற்குப்பதில் அவற்றின் மதிப்புகளை நம் அறிவுபாடுகளைக்கொண்டு வரையறை செய்துகொண்டு (டெஃபினிஷன்ஸ்) அணுகுவது சரியாக இருக்கலாம் என்பதன் நம் முயற்சியே இந்த "லேக்ரேஞ்ஜியன் புலக்கோட்பாடு" ஆகும்.இதற்கு உறுதுணையாக இருப்பதே "உள் பகுப்பீட்டு சமன்பாட்டு கணித முறைகள் "ஆகும்.(மேதமெடிகல் தியரி ஆஃப் பார்ஷியல் டிஃபெரென்ட்ஷியல் ஈகுவேஷன்ஸ்) ஆகும்.
அந்த கண்ணுக்குத்தெரியாத "வெளியை" நாம் உருவாக்கும் "வெளியை"வைத்துக்கொண்டு உள்ளீடுசெய்வது ஒரு முறை ஆகும். அந்த வெளிகள் "சொபலேவ் வெளிகள்" எனப்படும்.உண்மையில் அவை என்ன என்பதைப்பார்ப்போம்.
கணித இயலில் சோபலேவ் வெளிகள் என்பவை திசைய வெளிகள் (வெக்டார் ஸ்பேசஸ்) ஆகும்.இவை பகுப்பாய்வுக்கு உட்படுத்தப்பட்ட ஒழுங்கு படுத்தப்பட்ட வெளிகள் (நார்ம்டு ஸ்பேஸ்) எனப்படும்..இவ்வெளிகள் ஒரு வலுவற்ற தீர்வைத்தான் தரும்.ஏனெனில் அதற்கு இந்த வெளிகள் முழுமை பெற்றதாக (கம்ப்ளீட் ஸ்பேஸ்) இருக்கவேண்டும்.அது மெய்மை வெளியியல் கணிதத்தில் (டோபாலஜிகல் ஸ்பேஸஸ்)"பனாக் ஸ்பேஸ்" எனப்படும்.ஆனால் இந்த சொபலேவ் வெளிகளில் "உள் பகுப்பீடு மற்றும் ஒழுங்கு பட்ட வெளிகள் அமையும் முறை முழு வெளியை அடைவ்தில்லை.அதற்குரிய "தொடர்வியம்"இங்கு இல்லை.இங்கு இருப்பவை துண்டு பட்ட வெளிகளே (டிஸ்கிரீட் ஸ்பேஸஸ்).எனவே இதற்கேற்றவாறு "வெளியின் அளவீடு"(மெஷரபிலிடி ஆஃப் ஸ்பேஸ்) கணிதப்படுத்தப் படவேண்டும்.
கருத்துகள் இல்லை:
கருத்துரையிடுக