erating ψ t . Using the fact that ψ t moves the spectrum of a morphism to −∞, one can prove similarly to the Section 6.5 that the limit ψ ∞(β) belongs to a finite-dimensional Cε-vector space generated by the distributions corresponding the unstable manifolds Ux ⊂ P(L1, L2), x ∈ L1 ∩ L2. Clearly, the map β 7→ ψ ∞(β) extends to the completion with respect to the filtration. It descends to the map α 7→ φ ∞(α), where α ∈ HomC(Y )(E1, E2). The image of φ ∞ belongs to the space isomorphic to HomFO(X∨)((L1, ρ1),(L2, ρ2)). Then we repeat the arguments from Section 6.6. Namely, we define an A∞-pre-category Cunram,0(Y ) in the same way as we defined the category DR0(Y ) in Section 6.6. Objects of Cunram,0(Y ) are the same as of Cunram(Y ). The spaces of morphisms of Cunram,0(Y ) are dg-modules over the dg-algebra Cε⊗bΩ ∗ 0 , where Ω∗ 0 is the dg-algebra of germs of differential forms in the auxiliary parameter δ at δ = 0 ∈ R≥0 (cf. Section 6.6). Compositions of morphisms in Cunram,0(Y ) are linear with respect to the dg-module structure. The transversality conditions in Cunram,0(Y ) and Cunram(Y ) by definition are the same as in FO(X∨ ). Thus we obtain an A∞-pre-category C tr unram,0 (Y ) which is A∞-equivalent to Cunram(Y ). Using homological perturbation theory in the same way as in Section 6.6 (projectors and homotopies are now defined by means of the semigroup φ t ), we construct the analog of the category DRtr,Π 0 (Y ). We denote this A∞-pre-category by C tr,Π unrum,0 (Y ). The spaces of morphisms of this category are completed tensor products of Ω∗ 0 with finite-dimensional Cε-vector spaces, spanned by the “smoothenings” of the unstable currents [Ux]. These smoothenings are defined by means of the operators Rδ in the same way as in 57 Section 6.5. By definition, the category C tr,Π unrum,0 (Y ) has the same transversality conditions as the category FO(X∨ ). The spaces of morphisms are naturally quasi-isomorphic to the corresponding spaces of morphisms in FO(X∨ ). Repeating the arguments from Section 6.6 we will see that the A∞-structure on C tr,Π unram,0 (Y ) is equivalent to the one on FO(X∨ ). Indeed, we have a natural map from the space HomFO(X∨)((L1, ρ1),(L2, ρ2)) to the space HomC tr,Π unram,0 (Y ) (F(L1, ρ1), F(L2, ρ2)). Let us recall that all the categories Cunram(Y ), Cunram,0(Y ), C tr unram,0 (Y ) and C tr,Π unrum,0 (Y ) have the same class of objects. Therefore we have the mirror symmetry functor on objects F : FO(X∨ ) → Ctr,Π unrum,0 (Y ) (see Section 8.1). On the other hand, the considerations above give rise to the linear maps of the spaces of morphisms. Let νX1,X2 be this linear map for two objects Xi = (Li , ρi), i = 1, 2. The proof of the following proposition is completely similar to the corresponding one in Section 6.6. (Since we work now over the field Cε, one uses the formulas for mk, k ≥ 1 from the last paragraph of Section 6.2). Proposition 14 Let Ei = F(Xi), 0 ≤ i ≤ k, k ≥ 1 be locally free rank one OY -modules (vector bundles) corresponding to objects Xi = (Li , ρi) ∈ FO(X∨ ), 0 ≤ i ≤ k. Then the formulas for m FO(X∨) k : ⊗0≤i≤kHom(Ei , Ei+1) → Hom(E0, Ek)[2 − k] coincide (after the extension of scalars from Cε to Cε⊗bΩ ∗ 0 ) with the formulas for m C tr,Π unram,0 (Y ) k : ⊗0≤i≤kHom(Xi , Xi+1) → Hom(X0, Xk)[2 − k] when the spaces of morphisms are identified via the maps ν(Xi , Xj ). Therefore A∞-pre-categories C tr,Π unram,0 (Y ) and FO(X∨ ) are equivalent. On the other hand, it follows from Sections 6.4, 6.6 that Cunram(Y ) and C tr,Π unram,0 (Y ) are also equivalent. Finally, applying the functor F, we obtain the following theorem. Theorem 4 The full subcategory F(Cunram(Y )) of C(Y ) is A∞-equivalent to FO(X∨ ). This is our version of Homological Mirror Conjecture for abelian varieties. 58 Remark 21 If we endow the torus Y = Rn/Z n with a flat metric and consider only flat Lagrangian subtori in X∨ then all higher compositions in the A∞-pre-category FO(X∨ ) can be written in terms of explicit “truncated theta series” analogous to those considered in [Ko] and [P1] in the case of elliptic curves. 9 Appendix: constructions in the case of complex numbers In the previous section we considered algebraic and analytic varieties over the complete local non-archimedean field Cε. In this section we explain our approach in the case of complex numbers (i.e. we will assume that ε is a fixed positive number). We should warn the reader that it is not yet clear how to obtain rigorous proof of the Homological Mirror Conjecture in this case. In particular, it is not known how to prove convergence of the series defining compositions in the Fukaya category. Nevertheless we will discuss the complex case because the geometry is more transparent. For example, one can construct the mirror symmetry functor on objects by means of the real verison of Fourier-Mukai transform (see Section 9.1). From the point of view of main body of present paper, the Appendix can be treated as a geometric motivation. For this reason we will not stress that X is an abelian variety, but will be using our conjectures about the collapse, and the assumption that the base Y of the torus fibration is a smooth manifold with integral affine structure and K¨ahler potential. We will be also using the notation from Section 3.
மெய் அற்ற பொய்மெய்யான சிக்கல் கணிதவியல் ஒரு சிந்தனை நுட்பம் உண்டு .அது என்ன? அது தான் பங்க்ட்டார் எனும் "இயப்பி ".இங்கு ஒரு "ஃ பூரியர்-முகாய் " உருமாற்றக்கணிதம் (ட்ரான்ஸ் ஃபார்ம்") நிகழ்கிறது. என்ன என்னவெல்லாமோ சொல்கிறீர்களே? என்று கலங்கவேண்டாம்.கலக்கி கலக்கி அடித்து தெளிவதே கணிதத்தின் உச்சி .கணிதவியலில் கணிதப்போக்கிலேயே ஜியோமெட்ரி எனும் வடிவ கணிதத்தை செதுக்க வேண்டும்.
அட சரிதான் நிறுத்துயா.கோடு முக்கோணம் வட்டம்னு படம்போடுறது தானே ஜியாமெட்ரி .அதுக்கு ஏன் இம்புட்டு பீலா?
சரியாச்சொன்னீங்க!
ஆமாங்க. நான் கூட அதுக்கு...அதாங்க அந்த "மிர்ரர் சிம்மெட்ரி"க்கு என்ன பெயர் வைக்கலாம்னு பாத்தேங்க.
"பீலா" சரியான பெயர்.இந்த கணிதவியல் இயற்பியல் வல்லுநர்கள் கணித சமன்பாடுகளை நீளமாக எழுதிக்கொண்டே போவார்கள்.இவையெல்லாவற்றையும் ஒண்ணுசேர்த்தாலே போதும்.அதுவே எத்தனையோ
மில்லியன் ஒளியாண்டு தூரத்துக்குப் போகும்.சரி விடுங்க.சாரத்தை பிழிஞ்சு எடுத்துக்கப்பார்ப்போம்.இப்படி காத்த கயிறா திரிக்கிற வேலையில தான் ஜேம்ஸ்வெப் டெலஸ்கோப் இறங்கியிருக்கு.தினந்தோறும் புதுசு புதுசா குண்டுபோட்டு நம்மை திகிலடையச்செஞ்சுகிட்டிருக்கு.இதுல இந்த மிர்ரர் சிம்மெட்ரி என்ன சொல்லுதுன்னு பார்த்தா இன்னும் ஆடிப்பொயிருவோம் ஆடி.அது சொல்லுங்க.பிரபஞ்சத்தையும் நம்மையும் பாத்து."அட நீங்க தான் அது! அது தான் நீங்க".பாத்தீங்களா! பாத்தீங்களா! இது தாங்க அத்வைதம்!பாத்தீங்களா நாம எங்க வந்து நிக்கோம்னு.தெரியாமலயா அம்மாம்பெரிய "ரஃபேல்"போர் விமானத்துக்கு கீழே நம்ம ராணுவ அமைச்சர் எலுமிச்சம்பழத்த நசுக்குனாரு.இப்போ கூட பாருங்க ...நம்ம ராக்கெட் ரகசியம் அந்த வெங்கடாச்சலபதி நம்ம தலையில் அடிக்கிற "சடாரியில்"தான் இருக்குதுன்னு ஒரு சூத்திரம் நாம் எழுதி வச்சிருக்கோம்.
அப்ப்றம் ஏன் அத்வைதத்த எல்லாம் தூர வச்சுட்டு ஒரு கொடூர சாதி அடக்குமுறையை வர்ணாசிரமம்னுட்டு ஒரு சமுதாய மனித நீதியையே அழிக்கப்பாக்கிறாங்களே.இதுக்கும் சேத்து தானே பகவான் அந்த சடாரிக்குட்டு வைக்கணும்.
பகவானுக்கு அதுக்கெல்லாம் நேரமில்ல நல்ல பெரிசு பெரிசா ஏலக்கா முந்திரியெல்லாம் போட்டு லட்டு பிடிச்சு வியாபாரம் பண்றதெல்லாம் தானே ஃபேமஸ்!
சரி இப்போ அந்த ஆராய்ச்சிக்கட்டுரைக்கு போவோம்.
மிர்ரர் சிம்மெட்ரி
இங்கே இது ஒரு ஹாலோமார்ஃபிக் வெக்டார் பண்டிலை உருவாக்குகிறது. இது லேக்ரேஞ்சியன் உள் மடங்குவெளிகளை (சப் மேனிஃபோல்ட்ஸ்)ப்போய் அதன் மீது வீச்சாய் பாய்ச்சுகிறது.(ப்ரொஜெக்ட்ஸ்).அந்த கணித வீச்சு எப்படி இருக்கும்? அது எல்லாவற் படர்ந்து மூடியிருக்காது.(அன்ரேமிஃபைடு கவரிங்).மேலும் அது லேக்ரேஞ்சியத்தின் "குறித்த இடத்தை"(லோகல்)க்காட்டநிற்கும்.அப்போது அந்த லேக்ரேஞ்சியத்தின் குறுக்குவெட்டுத்தோற்றமே அந்த "வீச்சில்" (ப்ரொஜெக்ஷன்) இருக்கும்.
இது எப்படி ஹாலோமார்ஃபிக் வெக்டார் பண்டில் எனப்படும்? இது தான் கணித நுட்பம் என்பது.இதற்கும் நாம் செங்குத்தான அறிவுப்படிகள் கணித சிந்தனைக்குள் ஏறியாக வேண்டும்.இவை கோட்டுக்கற்றைகளின் போர்த்தல் ஆகும் (கவரிங் ஆஃப் லைன் பண்டில்ஸ்) இது கணிதவியலில் "இலை" அல்லது தென்னங்க் "கீற்று"ஆகும் (லீஃப்).
இப்போது மிர்ரர் சிம்மெட்ரிக்கு வருவோம்.இந்த கணித மேதைகள் என்ன சொல்கிறார்கள் என்றால் தட்டையான வடிவகணிதத்தில் (ஈக்குளியன் ஜியாமெட்ரி) ஒரு சிம்மெரி எனும் ஒழுங்கியம் இருக்கிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம்.அதாவது அதில் எந்த இடத்துப்புள்ளியின் மதிப்பும் ஒரே மாதிரியாக (சிமிலர்) இருக்கும்.
இப்போது "ரெய்மான்" கூறும் குழைவு வெளியை (மேனிஃபோல்டு) எடுத்துக்கொள்வோம். இதிலும் அப்படி ஒரு ஒழுங்கியம் இருக்குமானால் இந்த இரண்டு சிம்மெட்ரிகளும் ஒன்றையொன்று பிரதிபலிக்கும் சிம்மெட்ரிகளாகவே இருக்கும்.இவை "பதிவு மீள்"ஒழுங்கியங்கள் எனப்படும்.இதை இப்படி மீள்பதிவு ஒழுங்கியம் (மிர்ரர் சிம்மெட்ரி) என்று எளிதாக சொல்லிவிட்டு ஒரு ஈசிச்சேரில் உட்கார்ந்துவிடமுடியுமா என்ன?
அதன் கணித சமன்பாட்டு முறைகள் எனும் "இடியாப்பச்சிக்கல்"களுக்குள் நுழைந்து திரும்பவேண்டும்.
9.1 Mirror symmetry functor on objects over C In the case of complex numbers the mirror symmetry functor assigns a holomorphic vector bundle F(L, ρ) on X = Xε to a pair (L, ρ), where L ⊂ X∨ is a Lagrangian submanifold, such that the projection p ∨ |L : L → Y is an unramified covering, and ρ is a local system on L. If L is a section of p ∨ , and rank(ρ) = 1, then E = F(L, ρ) is a line bundle. In general, E can be locally represented as a sum E ≃ ⊕α∈AEα where A is the set of leaves (i.e. connected components) of the covering L → Y , and Eα is a holomorphic vector bundle of the rank equal to the rank of ρ on the leaf α. 59 The following explicit construction of the mirror symmetry functor on objects is not new, see e.g. [AP]. We start with the remark that there is a canonical U(1)-bundle on X ×Y X∨ (Poincar´e line bundle). It will be denoted by P. It admits a canonical connection, which will be described below . Let us fix y ∈ Y . Then p −1 (y) ≃ TY,y/εT Z Y,y and (p ∨ ) −1 (y) ≃ T ∗ Y,y/(T Z Y,y) ∨ . We identify torus (p ∨ ) −1 (y) with the moduli space of U(1)-local systems on the torus p −1 (y) trivialized over a point 0 ∈ p −1 (y). We define U(1)-bundle P to be the tautological bundle on X ×Y X∨ corresponding to this description. In order to describe the connection on P let us consider the fiberwise universal coverings r : TY → TY /T Z Y and r ∨ : T ∗ Y → T ∗ Y /(T Z Y ) ∨ . Then the pullback P¯ of P to TY ×Y T ∗ Y is canonically trivialized. Thus we can work in coordinates. Let y = (y1, ..., yn) be coordinates on Y , x = (x1, ..., xn) and x ∨ = (x ∨ 1 , ..., x∨ n ) be coordinates on the fibers of TY → Y and T ∗ Y → Y respectively. Deck transformations xj 7→ xj+εnj , nj ∈ Z act on P¯ preserving the trivialization, and transformations x ∨ j 7→ x ∨ j + n ∨ j , n∨ j ∈ Z act on P¯ by the multiplication by exp(2πi/εP j n ∨ j xj ). Let ∇0 be the trivial connection on P¯. We consider the connection ∇¯ on P¯ which is given by the following formula ∇¯ = ∇0 + 2πi/ε X 1≤j≤n x ∨ j dxj . Lemma 3 The connection ∇¯ gives rise to a connection on P. Proof. Obviously, connection ∇¯ does not change under the transformation xj 7→ xj + εnj , nj ∈ Z. The transformation x ∨ j 7→ x ∨ j + n ∨ j , n∨ j ∈ Z together with the gauge transformation of ∇¯ by h = exp(2πi/εP j n ∨ j xj ) also preserves ∇¯ . This proves the Lemma. Let (L, ρ) be as above. The mirror symmetry functor assigns to it a holomorphic vector bundle E = F(L, ρ) such that (in coordinates) its fiber over a point (y, x) is given by the formula E(y, x) = ⊕{x∨∈L,p∨(x∨)=y}ρ(x ∨ ) ⊗ P(x, x∨ ). This vector bundle carries the induced connection ∇E. In the case of unitary ρ the bundle E carries also a natural hermitean metric. Proposition 15 The (0, 2)-part of the curvature curv(∇E) is trivial. In particular, ∇E is a holomorphic connection. 60 Proof. It follows from the fact that L is Lagrangian. Indeed, let us lift L to T ∗ Y . Then locally in a neighborhood of a connected component of L, one can find a smooth real function f = f(y) such that L = df. We can write the local equation for L: x ∨ j = ∂f/∂yj , 1 ≤ j ≤ n. The connection ∇E can be locally written as ∇E,0+idE ⊗(2πi/εP j ∂f/∂yjdxj ), where ∇E,0 is the trivial flat connection on the vector bundle E. Since the holomorphic coordinates on TY are given by zj = yj +ixj , i = √ −1, one sees that the (0, 2)-part of the curvature is equal to curv(∇E) (0,2) = const × ( P j,k ∂ 2 f/∂yj∂ykdz¯jdz¯k) = 0. The Proposition is proved. Definition 23 For any two holomorphic vector bundles E1 and E2 on X, we define HomDolb(E1, E2) = Ω0,∗ (X, Hom(E1, E2)). We consider the space of Dolbeault differential forms with values in the vector bundle Hom(E1, E2) as a dg-algebra with respect to the ¯∂-differential. In this way one gets a structure of A∞-category (in fact a dg-category) on the derived category of coherent sheaves on X. One can show th
கருத்துகள் இல்லை:
கருத்துரையிடுக